Question

圓x²+y²=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，切點(diǎn)為P（如圖）．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過點(diǎn)P，且與直線l：y=x+

3

交于A、B兩點(diǎn)，若△PAB的面積為2，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），求得圓的切線方程，根據(jù)切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形的面積S=

8

x0•y0

．再利用基本不等式求得S取得最小值，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（Ⅱ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，則

2

a2

+

2

b2

=1．把直線方程和橢圓的方程聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，里哦也難怪韋達(dá)定理、弦長公式求出弦長AB以及點(diǎn)P到直線的距離d，再由△PAB的面積為S=

1

2

•AB•d=2，求出a²、b²的值，從而得到所求橢圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），且x₀＞0，y₀＞0．
則切線的斜率為-

x0

y0

，故切線方程為 y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀），即x₀x+y₀y=4．
此時，切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形的面積S=

1

2

•

4

x0

•

4

y0

=

8

x0•y0

．
再根據(jù) x02+y02=4≥2

x0•y0

，可得當(dāng)且僅當(dāng)x₀=y₀=

2

時，x₀•y₀取得最大值，即S取得最小值，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

2

，

2

）．
（Ⅱ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，∵橢圓C過點(diǎn)P，∴

2

a2

+

2

b2

=1．
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x+ 3

 求得b²x²+4

3

x+6-2b²=0，
∴x₁+x₂=-

4 3

b2

，x₁•x₂=

6-2b2

b2

．
由 y₁=x₁+

3

，y₂=x₂+

3

，可得AB=

2

|x₂-x₁|=

2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

2

•

( -4 3 b2 )2-4× 6-2b2 b2

=

2

b2

8b4-24b2+48

．
由于點(diǎn)P（

2

，

2

）到直線l：y=x+

3

的距離d=

| 2 - 2 + 3 |

2

，
△PAB的面積為S=

1

2

•AB•d=2，可得 b⁴-9b²+18=0，解得 b²=3，或 b²=6，
當(dāng)b²=6 時，由

2

a2

+

2

b2

=1求得a²=3，不滿足題意；
當(dāng)b²=3時，由

2

a2

+

2

b2

=1求得a²=6，滿足題意，故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

6

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式的應(yīng)用，屬于難題．