Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時，的零點個數(shù)；

（2）若的整數(shù)解有且唯一，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）只有一個零點（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值即可判斷；（2）易發(fā)現(xiàn)，再分和根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系討論題設(shè)成立時的取值范圍，求交集即可.

解：（1），當(dāng)時，，函數(shù)單增，

且時函數(shù)值都已經(jīng)大于0了；當(dāng)時，，函數(shù)單減，

且，所以只有一個零點

（2）觀察發(fā)現(xiàn)，下證除整數(shù)0外再無其他整數(shù) ，

①當(dāng)時，，根據(jù)同向不等式乘法得到，因為，

所以，所以函數(shù)單增，且趨于時函數(shù)值顯然很大很大；

但要保證只有唯一整數(shù)0，需要，卻發(fā)現(xiàn)恒成立，

②當(dāng)時，要保證只有唯一整數(shù)0，首先需要，得到

當(dāng)時，，根據(jù)同向不等式得到，又因，

所以，所以函數(shù)在單減，且

綜上所述：的整數(shù)解有且唯一時，