Question

【題目】在邊長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中點，F(xiàn)是DD1的中點，
（1）求點A到平面A1DE的距離；
（2）求證：CF∥平面A1DE；
（3）求二面角E﹣A1D﹣A的平面角大小的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（1）分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（0，0，1），
∴=（2，0，2），=（1，2，0），=（2，0，0）
設(shè)平面A1DE的法向量是=（a，b，c）
則，∴=（﹣2，1，2）
∴點A到平面A1DE的距離是d==；
（2）證明：∵=（0，﹣2，1），
∴=﹣2+2=0，∴⊥，
∴CF∥平面A1DE；
（3）解：∵平面A1DA的法向量為=（0，2，0），平面A1DE的法向量是=（﹣2，1，2）
∴cos＜,＞===．

【解析】（1）分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的點到平面的距離公式即可求得點A到平面A1DE的距離；
（2）確定=﹣2+2=0，可得⊥ ， 從而可得CF∥平面A1DE；
（3）確定平面A1DA的法向量、平面A1DE的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．