精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知函數f(x)=的圖像在點為自然常數)處的切線斜率為3.
(Ⅰ)求實數的值
(Ⅱ)若,且對任意的恒成立,求得最大值
(Ⅲ)當時,證明
(1)因為f(x)=ax+xlnx,所以f'(x)=a+lnx+1.(1分)
因為函數f(x)=ax+xlnx的圖象在點x=e處的切線斜率為3,
所以f'(e)=3,即a+lne+1=3.所以a=1.(2分)
(2)解:由(1)知,f(x)=x+xlnx,
所以對任意x>1恒成立,即對任意x>1恒成立.(3分)
,則,(4分)
令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),則,
所以函數h(x)在(1,+∞)上單調遞增.(5分)
因為h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一實根x0,且滿足x0∈(3,4).
當1<x<x0時,h(x)<0,即g'(x)<0,當x>x0時,h(x)>0,即g'(x)>0,
所以函數在(1,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增.
.(7分)
所以k<[g(x)]min=x0∈(3,4).故整數k的最大值是3.(8分)
(3)證明:由(2)知,是[4,+∞)上的增函數,(9分)
所以當n>m≥4時,.(10分)
即n(m﹣1)(1+lnn)>m(n﹣1)(1+lnm).
整理,得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+(n﹣m).(11分)
因為n>m,所以mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.(12分)
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn
即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).(13分)
所以(mnnm>(nmmn.(14分)
證明2:構造函數f(x)=mxlnx+mlnm﹣mxlnm﹣xlnx,(9分)
則f'(x)=(m﹣1)lnx+m﹣1﹣mlnm.(10分)
因為x>m≥4,所以f'(x)>(m﹣1)lnm+m﹣1﹣mlnm=m﹣1﹣lnm>0.
所以函數f(x)在[m,+∞)上單調遞增.(11分)
因為n>m,所以f(n)>f(m).
所以mnlnn+mlnm﹣mnlnm﹣nlnn>m2lnm+mlnm﹣m2lnm﹣mlnm=0.(12分)
即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn
即ln(nmnmm)>ln(mmnnn).(13分)
所以(mnnm>(nmmn
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數().
(1)若,求函數的極值;
(2)若內為單調增函數,求實數a的取值范圍;
(3)對于,求證:.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

函數的導函數的圖像如右圖所示,則_______.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

已知函數f(x)=x(xc)2x=2處有極大值,則實數c=  ▲  .

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數
(1)  若的一個極值點到直線的距離為1,求的值;
(2)  求方程的根的個數.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

在區(qū)間上的最大值是(  )
A.B.0C.2D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

函數,的最大值為(     )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分13分)已知函數).
(I)當時,求在點處的切線方程;
(Ⅱ)求函數上的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1時取得極值,且f(1)=—1.
(1)試求常數a、b、c的值;
(2)試判斷x=±1是函數的極小值點還是極大值點,并說明理由。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案