Question

如圖，邊長為1的正三角形SAB所在平面與直角梯形ABCD所在平面垂直，且AB∥CD，BC⊥AB，BC=1，CD=2，E、F分別是線段SD、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AEF∥平面SBC；
（2）求二面角S-AC-F的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中F為CD的中點(diǎn)，易判斷四邊形ABCD為平行四邊形，進(jìn)而AF∥BC，同時EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．
（II）取AB的中點(diǎn)O，連接SO，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，分別求出平面SAC與平面ACF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．

解答：證明：（Ⅰ）∵fF別是CD的中點(diǎn)，
∴FC=

1

2

CD=1．
又AB=1，所以FC=AB．又∵FC∥AB，
∴四邊形ABCF四邊形．
∴AF∥BC
∵E是SD的中點(diǎn)
∴EF∥SC
又∵AF∩EF=F，BC∩SC=C
∴平面AEF∥平面SBC
解：（II）取AB的中點(diǎn)O，連接SO，∵SO⊥△SAB，
以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系O-xyz
則有A（0，-

1

2

，0），C（1，

1

2

，0），S（0，0，

3

2

），F(xiàn)（1，-

1

2

，0），

AC

=（1，1，0），

AS

=（0，

1

2

，

3

2

），（7分）
設(shè)平面SAC的法向量為

m

=（x，y，z），
由

AC • m =0 AS • m =0

，即

x+y=0 1 2 y+ 3 2 z=0

取x=1，得

m

=（1，-1，

3

3

），（9分）
平面FAC的法向量為

n

=（0，0，1）．（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

3 3

7 3

=

7

7

（11分）
而二面角二面角S-AC-F的大小為鈍角，
∴二面角二面角S-AC-F的大小為π-arccos

7

7

（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法，平面與平面平行的判定，（I）的關(guān)鍵是要找到AF∥BC，同時EF∥SC，（II）的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題．