如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,PB與平面ABC成60°的角,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=
1
2
AD.
(1)求證:平面PCD⊥平面PAC;
(2)設(shè)E是棱PD上一點,且PE=
1
3
PD,求異面直線AE與PB所成的角.
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.
∵PA⊥平面ABCD,PB與平面ABC成60°,
∴∠PBA=60°,∴PA=ABtan60°=
3

取AB=1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,
3
),D(0,2,0).
(1)∵
AC
=(1,1,0),
AP
=(0,0,
3
),
CD
=(-1,1,0),
AC
CD
=-1+1+0=0,
AP
CD
=0.
∴AC⊥CD,AP⊥CD,
∵AC∩AP=A,
∴CD⊥平面PAC.
又CD?平面PCD,
∴平面PCD⊥平面PAC.
(2)∵
PE
=
1
3
PD
PD
=(0,2,-
3
)
,
OE
=
OP
+
1
3
PD
=(0,0,
3
)+
1
3
(0,2,-
3
)
=(0,
2
3
,
2
3
3
)

∴E(0,
2
3
,
2
3
3
),∴
AE
=(0,
2
3
,
2
3
3
).
PB
=(1,0,-
3
),∴
AE
PB
=-2.
∴cos<
AE
PB
>=
AE
PB
|
AE
|•|
PB
|
=
-2
4
3
×2
=-
3
4

∴異面直線AE與PB所成的角為arccos
3
4
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,在正四棱錐中,,則二面角的平面角的余弦值為(    )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

三棱錐A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,點E、F分別在AC,AD上,使平面BEF⊥平面ACD,且EF∥CD,則平面BEF與平面BCD所成的二面角的正弦值為                  ( )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則異面直線AC1與BB1所成的角為( 。
A.a(chǎn)rctan
2
2
3
B.a(chǎn)rccos
2
2
3
C.a(chǎn)rcsin
1
3
D.a(chǎn)rctan2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD為矩形,ADEF為梯形,AFDE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2.
(Ⅰ)求異面直線EF與BC所成角的大;
(Ⅱ)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為
1
3
,求AB的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起,形成三棱錐C-ABD,它的主視圖與俯視圖如圖所示,則異面直線AB與CD所成角為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2,E是棱A1B1的中點.
(1)求異面直線A1B1與BD的距離;
(2)求直線EC1與BD所成角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,已知AA1與BB1是異面直線,且AA1=2,BB1=1,AB⊥BB1,A1B1⊥BB1,則AA1與BB1所成的角為(  )
A.30°B.45°C.60°D.90°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線AD與BD1所成角的余弦值為(  )
A.
3
3
B.
6
3
C.
2
2
D.
1
3

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同步練習(xí)冊答案