Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

（2）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（2）

【解析】

（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可證明；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為研究的單調(diào)性及最值，從而借助于f（x）的最小值大于等于0得到，利用零點(diǎn)代換法求得的范圍，則可求出a的范圍．

（1）

當(dāng)時(shí)，

，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以在區(qū)間增，在區(qū)間為上減

所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

（2）設(shè)

，所以在上單調(diào)遞增,

（1）當(dāng)，即時(shí)，在上是單調(diào)遞增的，，

所以

（2）當(dāng)，即時(shí)，，

故存在唯一的，使，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間增，在區(qū)間為上減

所以，，又

得，

又，令，則在上恒成立，

可得是隨增大而增大的，所以

綜上：