如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AD=
2
AB，E為線段A1D上一點．
（Ⅰ）當E為A1D的中點時，求證：直線A1B∥平面EAC；
（Ⅱ）是否存在點E使二面角E-AC-D為30°？若存在，求
A1E
ED
，若不存在，說明理由．
考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）設(shè)AC和BD交于點O，連EO，證明EO∥A1B，利用仔細與平面平行的判定定理證明直線A1B∥平面EAC．
（Ⅱ） 過E作EG⊥AD于G，過G作GH⊥AC于H，連EH，說明∠EHG為二面角E-AC-D的平面角，設(shè)EG=x，則DG=x，通過解三角形求出x，然后求出
A1E
ED
=3．
解答： （Ⅰ）證明：設(shè)AC和BD交于點O，連EO，
由E，O分別是A1D，BD的中點，故EO∥A1B，…（4分）
∵EO?平面EAC，A1B?平面EAC，
所以直線A1B∥平面EAC．…（6分）
（Ⅱ）解：過E作EG⊥AD于G，過G作GH⊥AC于H，連EH，
∴EG⊥底面ABCD，∴EG⊥AC，
∴AC⊥面EGH，∴EH⊥AC，
∴∠EHG為二面角E-AC-D的平面角．…（10分）
設(shè)EG=x，則DG=x，
∴AG=2-x，又
HG
CD
=
AG
AC
，∴
HG
2
=
2-x
6
，∴HG=
2-x
3
，
∴tan∠EHG=
EG
GH
=
3
x
2-x
=
3
3
，∴x=
1
2
，
所以存在點E滿足條件，且
A1E
ED
=3．…（15分）．
點評：本題考查二面角的平面角以及仔細與平面平行的判定，考查空間想象能力以及計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M={x|y=
2x-2
}，N={x|y=log2（2-x）}，則∁R（M∩N）=（　�。�
A、[1，2）
B、（-∞，1）∪[2，+∞）
C、[0，1]
D、（-∞，0）∪[2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的函數(shù)為（　　）
A、y=sinx
B、y=1g2x
C、y=lnx
D、y=-x3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

不等式|2x-1|≥x的解集為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，BC=1，∠B=
π
3
，△ABC的面積S=
3
，則AC=（　　）
A、4
B、
13
C、
21
D、
39

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓心為（1，2）的圓C，被直線l：2x-y-5=0截得的弦長為4
5
．
（Ⅰ）求圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)P是直線l上橫坐標為-4的一點，求經(jīng)過點P的圓的切線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則∠A的值為
 
，△ABC面積的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a、b、c分別為△ABC三內(nèi)角A、B、C的對邊，若sinB≤2sinCcosA，c=2bcosA，則sin（2A+
π
3
）的取值范圍是（　�。�
A、（0，1]
B、[0，1]
C、（
1
2
，1]
D、[0，
1
2
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

命題“若a∈M，則a∈N”的否命題是（　�。�
A、若a∈N，則a∈M
B、若a∉M，則a∉N
C、若a∈M，則a∉N
D、若a∉N，則a∉M

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