Question

（2013•虹口區(qū)一模）如果函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，存在實(shí)數(shù)a使得f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質(zhì)”．
（1）判斷函數(shù)y=sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”，若具有“P（a）性質(zhì)”求出所有a的值；若不具有“P（a）性質(zhì)”，請(qǐng)說明理由．
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，且當(dāng)x≤0時(shí)f（x）=（x+m）²，求y=f（x）在[0，1]上的最大值．
（3）設(shè)函數(shù)y=g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，且當(dāng)-

1

2

≤x≤

1

2

時(shí)，g（x）=|x|．若y=g（x）與y=mx交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2013個(gè)，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先檢驗(yàn)sin（x+a）=sin（-x）是否成立即可檢驗(yàn)y=sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”
（2）由y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)可得f（x）=f（-x），結(jié)合x≤0時(shí)的函數(shù)解析式可求x≥0的函數(shù)解析式，結(jié)合m的范圍判斷函數(shù)y=f（x）在[0，1]上的單調(diào)性即可求解函數(shù)的最值
（3）由題意可得g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），據(jù)此遞推關(guān)系可推斷函數(shù)y=g（x）的周期，根據(jù)交點(diǎn)周期性出現(xiàn)的規(guī)律即可求解滿足條件的m

解答：解：（1）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
根據(jù)誘導(dǎo)公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性質(zhì)”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
（2）∵y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，
∴f（x）=f（-x）．
設(shè)x≥0，則-x≤0，∴f（x）=f（-x）=（-x+m）²=（x-m）²
∴f(x)=

(x+m)2&x≤0 (x-m)2&x≥0

…（6分）
當(dāng)m≤0時(shí)，∵y=f（x）在[0，1]遞增，
∴x=1時(shí)ymax=(1-m)2
當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，y=f（x）在[0，m]上遞減，在[m，1]上遞增，且f（0）=m²＜f（1）=（1-m）²，
∴x=1時(shí)ymax=(1-m)2
當(dāng)m≥

1

2

時(shí)，
∵y=f（x）在[0，m]上遞減，在[m，1]上遞增，且f（0）=m²≥f（1）=（1-m）²，
∴x=0時(shí)ymax=m2
綜上所述：當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，ymax=f(1)=(1-m)2；
當(dāng)m≥

1

2

時(shí)，ymax=f(0)=m2…（11分）
（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，
∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），從而得到y(tǒng)=g（x）是以2為周期的函數(shù)．
又設(shè)

1

2

≤x≤

3

2

，則-

1

2

≤1-x≤

1

2

，
g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
再設(shè)n-

1

2

≤x≤n+

1

2

（n∈z），
當(dāng)n=2k（k∈z），2k-

1

2

≤x≤2k+

1

2

則-

1

2

≤x-2k≤

1

2

，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k|=|x-n|；
當(dāng)n=2k+1（k∈z），2k+1-

1

2

≤x≤2k+1+

1

2

則

1

2

≤x-2k≤

3

2

，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k-1|=|x-n|；
∴對(duì)于，n-

1

2

≤x≤n+

1

2

（n∈z），都有g(shù)（x）=|x-n|，而n+1-

1

2

≤x+1≤n+1+

1

2

，
∴g（x+1）=|（x+1）-（n+1）|=|x-n|=g（x），
∴y=g（x）是周期為1的函數(shù)．
①當(dāng)m＞0時(shí)，要使y=mx與y=g（x）有2013個(gè)交點(diǎn)，只要y=mx與y=g（x）在[0，1006）有2012個(gè)交點(diǎn)，而在[1006，1007]有一個(gè)交點(diǎn)．
∴y=mx過（

2013

2

，

1

2

），從而得m=

1

2013

②當(dāng)m＜0時(shí)，同理可得m=-

1

2013

③當(dāng)m=0時(shí)，不合題意．
綜上所述m=±

1

2013

…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查周期函數(shù)，著重考查函數(shù)在一定條件下的恒成立問題與最值求解的相互轉(zhuǎn)化，綜合考察構(gòu)造函數(shù)、分析轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想與方法，難度大，思維深刻，屬于難題