Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）當時，函數(shù)，求函數(shù)的值域．

Answer 1

（1）函數(shù)的定義域為；（2）函數(shù)是奇函數(shù)；（3）函數(shù)的值域為．

解析試題分析：（1）具有解析式的函數(shù)的定義域無特殊情況下，通常就是使解析式有意義的自變量的取值范圍；通常關(guān)注的是：①開偶次方時被開方的式子為非負；②作為分母不得為零；③作為對數(shù)的真數(shù)必須為正；④作為對數(shù)的底數(shù)必須為正且不為；（2）奇、偶性的判斷，首先必須關(guān)注定義域，定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具備奇、偶性的必要條件，接下來用定義或等價定義來判斷；（3）求函數(shù)值域的方法很多，在大題中經(jīng)常通過探討函數(shù)單調(diào)性來達到求函數(shù)值域的目的，這里即是．
試題解析：（1）由得，則函數(shù)的定義域為．       4分
（2）當時，，
因此，函數(shù)是奇函數(shù)．                                              9分
（3）設(shè)，當時，
則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
故函數(shù)在區(qū)間上也是減函數(shù)．                                12分
（證明單調(diào)性也可用定義）
則，                            13分
因此，函數(shù)的值域為．                                         14分
考點：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等的綜合應(yīng)用．