Question

若不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解析:方法一:將數(shù)軸分為(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三個(gè)區(qū)間.?

當(dāng)x＜3時(shí),得(3-x)+(4-x)＜a,即x＞有解條件為＜3,即a＞1；?

當(dāng)3≤x≤4時(shí),得(3-x)+(4-x)＜a,即a＞1；?

當(dāng)x＞4時(shí),得(x-3)+(x-4)＜a,即x＜有解條件為＞4,即a＞1.?

因此上述三種情況,任一個(gè)成立,即可滿足題意,故a的范圍應(yīng)是它們的并集,即a＞1.?

方法二:設(shè)數(shù)x、3、4在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P、A、B,

由絕對(duì)值的幾何意義,原不等式即求|PA|+|PB|＜a何時(shí)成立.?

因?yàn)閨AB|=1,故數(shù)軸上任一點(diǎn)到A、B距離之和均大于等于1,即|x-3|+|x-4|≥1,故當(dāng)a＞1時(shí),原不等式解集不是空集.