Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣mx（m∈R）． （Ⅰ）當(dāng)m=0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)b＞a＞0時，總有 ＞1成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）m=0即f（x）= ，令f′（x）= ， x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（﹣∞，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	遞增		遞減

∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（Ⅱ）∵b＞a＞0時，總有 ＞1成立，
即函數(shù)h（x）=f（x）﹣x在區(qū)間（0，+∞）遞增，
由h（x）= ﹣（m+1）x，（x＞0）得h′（x）= ﹣（m+1）≥0在（0，+∞）恒成立，
即m≤ ﹣1在區(qū)間（0，+∞）恒成立，
設(shè)k（x）= ﹣1，則k′（x）= ，令k′（x）=0，則x=2，
故x∈（0，2）時，k′（x）＜0，函數(shù)k（x）在（0，2）遞減，
x∈（2，+∞）時，k′（x）＞0，函數(shù)k（x）在（2，+∞）遞增，
故k（x）min=k（2）=﹣1﹣ ，
故m的范圍是m≤﹣1﹣
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）由函數(shù)h（x）=f（x）﹣x在區(qū)間（0，+∞）遞增，問題轉(zhuǎn)化為m≤ ﹣1在區(qū)間（0，+∞）恒成立，設(shè)k（x）= ﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．