Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過(guò)，，，三點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，，是過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交軸于點(diǎn)，交圓于、兩點(diǎn)．

（1）若，求直線的方程；

（2）若是使恒成立的最小正整數(shù)，求三角形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）求出圓心與半徑，設(shè)方程為：，因?yàn)?/span>，則直線到圓心的距離，即可求直線 的方程.

（2）設(shè)，由點(diǎn)在線段上，得，因?yàn)?/span>，所以.

依題意知，線段與圓至多有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，由此入手求得三角形的面積的最小值

解：（1）由題意可知，圓的直徑為，所以圓方程為：.

設(shè)方程為：，則，解得，，

當(dāng)時(shí)，直線與軸無(wú)交點(diǎn)，不合，舍去．

所以，此時(shí)直線的方程為.

（2）設(shè)，由點(diǎn)在線段上，得，即.

由，得.

依題意知，線段與圓至多有一個(gè)公共點(diǎn)，

故，解得或.

因?yàn)?/span>是使恒成立的最小正整數(shù)，所以.

所以圓方程為：

(i) 當(dāng)直線時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，

(ii) 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)的方程為：，則的方程為：，點(diǎn).

所以 .

又圓心到的距離為，所以

故

因?yàn)?/span>，所以.