已知函數(shù),其中常數(shù)a > 0.
(1) 當(dāng)a = 4時(shí),證明函數(shù)f(x)在上是減函數(shù);
(2) 求函數(shù)f(x)的最小值.
解:(1) 當(dāng)時(shí),,利用“定義法”證明。
(2)

試題分析:
思路分析:(1) 當(dāng)時(shí),,利用“定義法”證明。執(zhí)行“設(shè)、算、證、結(jié)”。
(2)應(yīng)用均值定理及“對號函數(shù)”的單調(diào)性,分,即,即兩種情況討論得到:。
解:(1) 當(dāng)時(shí),
任取0<x1<x2≤2,則f(x1)–f(x2)=
因?yàn)?<x1<x2≤2,所以f(x1)–f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù);
(2),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,
當(dāng),即時(shí),的最小值為,
當(dāng),即時(shí),上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí),取得最小值為,
綜上所述:
點(diǎn)評:中檔題,本題綜合性較強(qiáng),研究函數(shù)的單調(diào)性,可以利用導(dǎo)數(shù),也可以利用常見函數(shù)的單調(diào)性。應(yīng)用均值定理,要注意“一正,二定,三相等”。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分13分)某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月,預(yù)測上市初期和后期會因供應(yīng)不足使價(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢,而中期又將出現(xiàn)供大于求,使價(jià)格連續(xù)下跌.現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù):①;②;③.(以上三式中均為常數(shù),且
(1)為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢,應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)(不必說明理由)
(2)若,求出所選函數(shù)的解析式(注:函數(shù)定義域是.其中表示8月1日,表示9月1日,…,以此類推);
(3)在(2)的條件下研究下面課題:為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟(jì)效益,當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷,請你預(yù)測該海鮮將在哪幾個(gè)月份內(nèi)價(jià)格下跌.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)滿足 在上恒成立.
(1)求的值;
(2)若,解不等式
(3)是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)在區(qū)間上有最小值?若存在,請求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù),其中為常數(shù), ,函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線為,函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)處的切線為,且
(Ⅰ)若對任意的,不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅱ)對于函數(shù)公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)。我們把 的值稱為兩函數(shù)在處的偏差。求證:函數(shù)在其公共定義域的所有偏差都大于2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,如果,使 (C為常數(shù)成立,則稱函數(shù)在D上的均值為C. 給出下列四個(gè)函數(shù):①;②;③;④,則滿足在其定義域上均值為1的函數(shù)的個(gè)數(shù)是(    )
A.1          B.2           C.3            D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)二次函數(shù)在[3,4]上至少有一個(gè)零點(diǎn),求的最小值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)是不為零的實(shí)數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線有公共點(diǎn),且在它們的某一公共點(diǎn)處有共同的切線,求k的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求此時(shí)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若函數(shù)f(x)在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù),且在I上是減函數(shù),則稱y=f(x)在I 上是“弱增函數(shù)”.已知函數(shù)h(x)=x2-(b-1)x+b在(0,1]上是“弱增函數(shù)”,則實(shí)數(shù)b的值為         

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)函數(shù),其中,區(qū)間
(Ⅰ)求的長度(注:區(qū)間的長度定義為);
(Ⅱ)給定常數(shù),當(dāng)時(shí),求長度的最小值.

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