Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x，y）滿足

a

•

b

=3，其中

a

=（2x+3，y），

b

=（2x--3，3y）．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)F（0，1）的直線l交點(diǎn)P的軌跡于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=

16

5

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,待定系數(shù)法求直線方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用點(diǎn)P（x，y）滿足

a

•

b

=3，可求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出k，即可求出直線的方程．

解答： 解：（1）由題意，

a

•

b

=（2x+3）（2x-3）+3y²=3，
可化為4x²+3y²=12，即：

y2

4

+

x2

3

=1；
∴點(diǎn)P的軌跡方程為

y2

4

+

x2

3

=1；

（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，|AB|=4，不合要求，舍去；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓方程可得：（4+3k²）x²+6kx-9=0，
∴x₁+x₂=

-6k

4+3k2

，x₁x₂=

-9

4+3k2

，
∴|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

12(1+k2)

4+3k2

=

16

5

，
∴k=±

3

3

，
∴直線l的方程y=±

3

3

x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，訓(xùn)練了利用數(shù)量積，屬于中檔題．