如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,CD的中點,計算:
(1)·.
(2)EG的長.
(3)異面直線EG與AC所成角的大小.
(1) (2) (3) 45°
【解析】設=a,=b,=c,
則|a|=|b|=|c|=1,
<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,==c-a,
=-a,=b-c.
(1)·=(c-a)·(-a)
=-a·c+=-+=.
(2)=++
=+(-)+(-)
=-++=-a+b+c
∴=(-a+b+c)2
=(-2a·b-2a·c+2b·c)=,
∴||=,即EG的長為.
(3)由(2)知,·=(-a+b+c)·b
=-a·b++c·b=,
∴cos<,>===.
故異面直線EG與AC所成的角為45°.
【方法技巧】用向量法解題的常見類型及常用方法
1.常見類型
利用向量可解決空間中的平行、垂直、長度、夾角等問題.
2.常用的解題方法
(1)基向量法
先選擇一組基向量,把其他向量都用基向量表示,然后根據(jù)向量的運算解題.
(2)坐標法
根據(jù)條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系,并求出相關點的坐標,根據(jù)向量的坐標運算解題即可.
科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十八第七章第七節(jié)練習卷(解析版) 題型:填空題
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中點,則直線CE與BD的位置關系是 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十九第七章第八節(jié)練習卷(解析版) 題型:解答題
如圖,已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長都是2,底面正方形兩條對角線相交于O點,M是側棱PC的中點.
(1)求此正四棱錐的體積.
(2)求直線BM與側面PAB所成角θ的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十三第七章第二節(jié)練習卷(解析版) 題型:填空題
已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十三第七章第二節(jié)練習卷(解析版) 題型:選擇題
某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
(A) (B)2 (C) (D)3
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十七第七章第六節(jié)練習卷(解析版) 題型:填空題
在空間直角坐標系中,以點A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)為頂點的△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形,則實數(shù)x的值為 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十七第七章第六節(jié)練習卷(解析版) 題型:選擇題
已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為上底面A1C1的中心,若=+x+y,則x,y的值分別為( )
(A)x=1,y=1 (B)x=1,y=
(C)x=,y= (D)x=,y=1
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)四十一第六章第七節(jié)練習卷(解析版) 題型:選擇題
用數(shù)學歸納法證明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少應取( )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)十四第二章第十一節(jié)練習卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù)y=(3-x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
(A)(-∞,0)
(B)(0,+∞)
(C)(-∞,-3)和(1,+∞)
(D)(-3,1)
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