【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(其中常數(shù)a,b∈R),g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函數(shù),
(1)求f(x)的表達式;
(2)求g(x)在[1,3]上的最大值和最小值.
【答案】
(1)解:∵f(x)=x3+ax2+bx(其中常數(shù)a,b∈R),
∴f′(x)=3x2+2ax+b,
∴g(x)=f(x)﹣f′(x)=x3+ax2+bx﹣3x2﹣2ax﹣b,
∵g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函數(shù),
∴a﹣3=0,b=0,
∴f(x)=x3+3x2
(2)解:∵f′(x)=3x2+6x,x∈[1,3]
∴g(x)=x3﹣6x,
∴g′(x)=3x2﹣6,
令g′(x)=3x2﹣6=0,解得x= ,
當g′(x)>0時,即 <x≤3,函數(shù)單調(diào)遞增,
當g′(x)<0時,即1≤x< ,函數(shù)單調(diào)遞減,
∴g(x)min=g( )=2 ﹣6 =﹣4 ,
∵g(1)=1﹣6=﹣5,g(3)=27﹣18=9,
∴g(x)max=g(3)=9
【解析】(1)先求出導函數(shù),再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出a,b的值,問題得以解決,(2)根據(jù)導數(shù)在閉區(qū)間上的應用,即可求出最值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),需要了解在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 C 的中心在坐標原點,焦點在 X 軸上,橢圓 C 上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.
(1)求橢圓 C 的標準方程;
(2)若直線 與橢圓 C 相交于 A,B 兩點( A,B 不是左右頂點),且以 AB 為直徑的圖過橢圓 C 的右頂點.求證:直線 l 過定點,并求出該定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣π<φ<0)的最小正周期為π,且它的圖象過點( , ).
(1)求ω,φ的值;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)).以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(Ⅰ)當時,求曲線上的點到直線的距離的最大值;
(Ⅱ)若曲線上的所有點都在直線的下方,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解某高級中學學生的體重狀況,打算抽取一個容量為n的樣本,已知該校高一、高二、高三學生的數(shù)量之比依次為4:3:2,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出的樣本中高三學生有10人,那么樣本容量n為( )
A.50
B.45
C.40
D.20
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,他們所在的平面互相垂直,動點M在線段PQ上,E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點,設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,則cosθ的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.
(Ⅰ)若直線PB與CD所成角的大小為,求BC的長;
(Ⅱ)求二面角B-PD-A的余弦值.
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