Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中點．
（1）證明：CD⊥平面POC；
（2）求三棱錐O-PCD的高．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱錐的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用側面PAB⊥底面ABCD，可證PO⊥底面ABCD，從而可證PO⊥CD，利用勾股定理，可證OC⊥CD，從而利用線面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；
（2）利用等積法求三棱錐的高．

解答： 證明：（1）∵PA=PB=，O為AB中點，
∴PO⊥AB
∵側面PAB⊥底面ABCD，PO?側面PAB，側面PAB∩底面ABCD=AB，
∴PO⊥底面ABCD
∵CD?底面ABCD，∴PO⊥CD
在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=2
在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=1
在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=8
∴OC²+CD²=OD²，
∴△ODC是以∠OCD為直角的直角三角形，
∴OC⊥CD
∵OC，OP是平面POC內的兩條相交直線
∴CD⊥平面POC…（6分）
（2）設三棱錐O-PCD的高為h，因為平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中點．
所以PO⊥平面ABCD，PO=2

2

，OC=

2

，OD=

10

，PC=

10

，
由（1）得OC⊥CD，CD⊥PC，所以CD=2

2

，
由V_P-OCD=V_O-PCD得

1

3

×S△OCD×PO=

1

3

×S△PCDh，所以

1

3

×

1

2

×OC×OD×OP=

1

3

×

1

2

×PC×CDh，即

2

×

10

×2

2

=

10

×2

2

h，解得h=

2

；
所以三棱錐O-PCD的高

2

．

點評：本題考查線面垂直、面面垂直的性質定理和判定定理的運用以及利用等積法球三棱錐的高，體現(xiàn)了轉化的思想．