Question

已知{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁•a₂=2，a₃•a₄=32．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{b_n}滿足

b1

1

+

b2

3

+

b3

5

+…+

bn

2n-1

=a_n+1-1（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由已知得解得

a1=1 q=2

求出an=2n-1；
（Ⅱ）由題意通過仿寫作差求出

bn

2n-1

=2n-1進一步求出bn=(2n-1)2n-1，利用錯位相減的方法求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答： 解：（Ⅰ）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由已知得

a12q=2 a12q5=32

…（2分）
又∵a₁＞0，q＞0，解得

a1=1 q=2

…（3分）
∴an=2n-1；…（5分）
（Ⅱ）由題意可得  

b1

1

+

b2

3

+

b3

5

+…+

bn

2n-1

=2n-1

b1

1

+

b2

3

+

b3

5

+…+

bn-1

2n-3

=2n-1-1，（n≥2）
兩式相減得  

bn

2n-1

=2n-1，
∴bn=(2n-1)2n-1，（n≥2）…（7分）
當n=1時，b₁=1，符合上式，
∴bn=(2n-1)•2n-1，（n∈N^*）…（8分）
設Tn=1+3•21+5•22+…+(2n-1)•2n-1，
2Tn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n，…（10分）
兩式相減得  -Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)•2n=-(2n-3)•2n-3，
∴Tn=(2n-3)2n+3．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法、前n項和公式的求法；錯位相減方法是求和方法中重要的方法，屬于一道中檔題．