【題目】對于數列,把作為新數列的第一項,把或()作為新數列的第項,數列稱為數列的一個生成數列.例如,數列的一個生成數列是.已知數列為數列的生成數列,為數列的前項和.
(1)寫出的所有可能值;
(2)若生成數列滿足,求數列的通項公式;
(3)證明:對于給定的,的所有可能值組成的集合為.
【答案】(1)(2)(3)詳見解析.
【解析】
試題(1)列舉出數列所有可能情況,共種,分別計算和值為,本題目的初步感觀生成數列(2)已知和項解析式,則可利用求通項. 當時,,而當且僅當時,才成立.所以(3)本題實際是對(1)的推廣.證明的實質是確定集合的個數及其表示形式.首先集合的個數最多有種情形,而每一種的值都不一樣,所以個數為種情形,這是本題的難點,利用同一法證明. 確定集合的表示形式,關鍵在于說明分子為奇數.由得分子必是奇數,奇數個數由范圍確定.
試題解析:解:(1)由已知,,,
∴,
由于,
∴可能值為. 3分
(2)∵,
當時,,
當時,,
,, 5分
∵是的生成數列,
∴;;;
∴
在以上各種組合中,
當且僅當時,才成立.
∴. 8分
(3)共有種情形.
,即,
又,分子必是奇數,
滿足條件的奇數共有個. 10分
設數列與數列為兩個生成數列,數列的前項和為,數列的前項和為,從第二項開始比較兩個數列,設第一個不相等的項為第項.
由于,不妨設,
則
,
所以,只有當數列與數列的前項完全相同時,才有.12分
∴共有種情形,其值各不相同.
∴可能值必恰為,共個.
即所有可能值集合為. 13分
注:若有其它解法,請酌情給分】
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【題目】已知函數f (x)=x-(a+1)ln x-(a∈R),g (x)=x2+ex-xex.
(1)當x∈[1,e] 時,求f (x)的最小值;
(2)當a<1時,若存在x1∈[e,e2],使得對任意的x2∈[-2,0],f (x1)<g (x2)恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱柱中,底面,且為正三角形,,為的中點.
(1)求證:直線平面;
(2)求三棱錐的體積;
(3)三棱柱的頂點都在一個球面上,求該球的體積.
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【題目】設橢圓:(),左、右焦點分別是、且,以為圓心,3為半徑的圓與以為圓心,1為半徑的圓相交于橢圓上的點
(1)求橢圓的方程;
(2)設橢圓:,為橢圓上任意一點,過點的直線交橢圓于兩點,射線交橢圓于點
①求的值;
②令,求的面積的最大值.
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【題目】已知函數的圖象經過點,且在區(qū)間上單調遞減,在上單調遞增.
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)求的解析式;
(Ⅲ)若對于任意的,,不等式恒成立,試問:這樣的是否存在,若存在,請求出的范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】已知橢圓: 的上下兩個焦點分別為,過點與軸垂直的直線交橢圓于兩點, 的面積為,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知為坐標原點,直線與軸交于點,與橢圓交于兩個不同的點,若,求的取值范圍.
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