(08年潮州市二模理)(14分)如圖,過拋物線的對稱軸上任一點(diǎn)作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).

 ⑴ 設(shè)點(diǎn)P滿足為實(shí)數(shù)),證明:;

⑵ 設(shè)直線AB的方程是,過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線,求圓C的方程.

 

解析:解⑴.依題意,可設(shè)直線AB的方程為,代入拋物線方程,得:

         ①       ………………………………    2分

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,則是方程①的兩根,

所以,.  ……………………………………………………   3分

由點(diǎn)P滿足為實(shí)數(shù),),得, 即

又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的以稱點(diǎn),故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是,從而

=

 =

 = =0     …………………………  6分

 所以,.   ………………………  7分

 ⑵.由得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是、

所以,拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為. ……………  9分

 設(shè)圓C的方程是,  

 則            …………………  11分

  解得:.……………………  13分

 所以,圓C的方程是.     ……………  14分

 

練習(xí)冊系列答案
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 求證:方程不存在異于的實(shí)數(shù)根;

⑵ 求證:當(dāng)時(shí),總有成立;

⑶ 對任意,若滿足,求證

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⑵ 求異面直線AB與CD所成角余弦的大;

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