Question

（2013•寶山區(qū)一模）設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若p=2，求線段AF中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若直線AB的方向向量為

n

=(1，2)，當(dāng)焦點(diǎn)為F(

1

2

，0)時(shí)，求△OAB的面積；
（3）若M是拋物線C準(zhǔn)線上的點(diǎn)，求證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）先由拋物線的方程得到其焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)A（x₀，y₀），M（x，y），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

x0=2x-1 y0=2y

，最后根據(jù)拋物線方程消去參數(shù)x₀，y₀，即得線段AF中點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）先利用直線AB的方向向量，求出直線的斜率，得出直線方程；再與拋物線方程聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)之間的線段長以及點(diǎn)O到AB的距離，代入△ABO面積的表達(dá)式，求出△ABO面積即可．
（3）顯然直線MA、MB、MF的斜率都存在，分別設(shè)為k₁、k₂、k₃．直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，證出k₁+k₂=2k₃即可證得k_MA、k_MF、k_MB成等差數(shù)列．

解答：解：（1）設(shè)A（x₀，y₀），M（x，y），焦點(diǎn)F（1，0），
則由題意

x= x0+1 2 y= y0 2

，即

x0=2x-1 y0=2y

…2分
所求的軌跡方程為4y²=4（2x-1），即y²=2x-1…4分
（2）y²=2x，F(

1

2

，0)，直線y=2(x-

1

2

)=2x-1，…5分
由

y2=2x y=2x-1

得，y²-y-1=0，|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

5

2

…7分
d=

1

5

，…8分
S△OAB=

1

2

d|AB|=

5

4

…9分
（3）顯然直線MA、MB、MF的斜率都存在，分別設(shè)為k₁、k₂、k₃．
點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)為A(x1，y1)、B(x2，y2)、M(-

p

2

，m)．
設(shè)直線AB：y=k(x-

p

2

)，代入拋物線得y2-

2p

k

y-p2=0，…11分
所以y1y2=-p2，…12分
又y12=2px1，y22=2px2，
因而x1+

p

2

=

y12

2p

+

p

2

=

1

2p

(y12+p2)，x2+

p

2

=

y22

2p

+

p

2

=

p4

2py12

+

p

2

=

p

2y12

(y12+p2)
因而k1+k2=

y1-m

x1+ p 2

+

y2-m

x2+ p 2

=

2p2(y1-m)

p(y12+p2)

+

2y12(- p2 y1 -m)

p(y12+p2)

=-

2m

p

…14分
而2k3=

0-m

p 2 -(- p 2 )

=-

2m

p

，故k₁+k₂=2k₃．…16分．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查軌跡方程、圓錐曲線的軌跡問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于中檔題．