Question

學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)項(xiàng)目：甲箱子里裝1個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙箱子里裝1個(gè)白球，1個(gè)黑球，這些球除顏色外沒有區(qū)別．規(guī)定：從甲箱子中摸出一個(gè)白球記2分，摸出一個(gè)黑球記0分；從乙箱子中摸出一個(gè)白球記1分，摸出一個(gè)黑球記0分．從甲、乙箱子中各摸一個(gè)球叫摸球一次（摸后放回），每個(gè)人有兩次摸球機(jī)會，若兩次摸球的總分大于等于4分即獲獎(jiǎng)．
（Ⅰ）記摸一次球的得分為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求一個(gè)人獲獎(jiǎng)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）設(shè)事件M：“一個(gè)人獲獎(jiǎng)”，事件A：“兩次摸球，一次得1分，一次得2分”，事件B：“兩次摸球都得2分”，事件C：“兩次摸球一次得2分，一次得3分”，事件D：“兩次摸球都得3分”，P（M）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D），由此能求出一個(gè)人獲獎(jiǎng)的概率．

解答： 解：（1）由題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

2

3

×

1

2

=

1

3

，
P（X=1）=

2

3

×

1

2

=

1

3

，
P（X=2）=

1

3

×

1

2

=

1

6

，
P（X=3）=

1

3

×

1

2

=

1

6

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 3	1 3	1 6	1 6

∴EX=0×

1

3

+1×

1

3

+2×

1

6

+3×

1

6

=

7

6

．
（Ⅱ）設(shè)事件M：“一個(gè)人獲獎(jiǎng)”，事件A：“兩次摸球，一次得1分，一次得2分”，
事件B：“兩次摸球都得2分”，事件C：“兩次摸球一次得2分，一次得3分”，
事件D：“兩次摸球都得3分”，
P（A）=2P（X=1）P（X=3）=2×

1

3

×

1

6

=

1

9

，
P（B）=P（X=2）P（X=2）=

1

6

×

1

6

=

1

36

，
P（C）=2P(X=2)P(X=3)=2×

1

6

×

1

6

=

1

18

，
P（D）=P（X=3）P（X=3）=

1

6

×

1

6

=

1

36

，
因?yàn)锳、B、C、D彼此互斥，且M=A∪B∪C∪D
所以有互斥事件的概率加法公式得：
P（M）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）
=

1

9

+

1

36

+

1

18

+

1

36

=

2

9

．
故一個(gè)人獲獎(jiǎng)的概率為

2

9

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件的概率的求法的合理運(yùn)用．