Question

已知函數(shù)f（x）=

x

1-|x|

（x∈（-1，1）），有下列結(jié)論：
（1）?x∈（-1，1），等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）?m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有兩個不等實(shí)數(shù)根；
（3）?x₁，x₂∈（-1，1），若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）存在無數(shù)多個實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有三個零點(diǎn)
則其中正確結(jié)論的序號為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)是奇函數(shù)即可．
（2）判斷函數(shù)|f（x）|的奇偶性和最值即可判斷．
（3）根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（4）根據(jù)函數(shù)圖象以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x

1-|x|

，x∈（-1，1），
∴f（-x）=

-x

1-|-x|

=-

x

1-|x|

=-f（x），x∈（-1，1），
即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0恒成立．∴（1）正確
（2）∵f（x）=

x

1-|x|

，x∈（-1，1）為奇函數(shù)，
∴|f（x）|為偶函數(shù)，
當(dāng)x=0時，|f（0）|=0，
∴當(dāng)m=0時，方程|f（x）|=m只有一個實(shí)根，當(dāng)m＞0時，方程有兩個不等實(shí)根，∴（2）錯誤．
（3）當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=

x

1-|x|

=

x

1-x

≥0，為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（-1，0]時，f（x）=

x

1-|x|

=

x

1+x

≤0，為增函數(shù)．
綜上函數(shù)f（x）在（-1，1）上為單調(diào)函數(shù)，且單調(diào)遞增，
∴?x₁，x₂∈（-1，1），若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）成立，即（3）正確．
（4）由g（x）=f（x）-kx=0得f（x）=kx，
∴f（0）=0，即x=0是函數(shù)的一個零點(diǎn)，
又∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在（-1，1）上單調(diào)遞減，
∴可以存在無數(shù)個實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在（-1，1）上有3個零點(diǎn)，如圖：
∴（4）正確．
故（1），（3），（4）正確．
故答案為：（1），（3），（4）

點(diǎn)評：本題主要考查分式函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)奇偶性，單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性強(qiáng)，難度較大，本題的質(zhì)量較高．