【題目】如圖,在直三棱柱中,,,是的中點.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)試問線段上是否存在點,使與面所成角的正弦值為?若存在,求出此時的長,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)不存在,理由見解析
【解析】
(1)連接交于點,得是的中位線,再由線面平行的判定定理即可證明;
(2)建立直角坐標(biāo)系,由兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角;
(3)設(shè)點,,表示出向量,由線面角的夾角公式求出的值即可判斷.
(1)如圖,連接交于點,
因為是直三棱柱,所以四邊形是矩形,
點為的中點,又為中點,
所以是的中位線,所以,
又平面,平面,
所以平面;
(2)因為是直三棱柱,,所以、、兩兩垂直,
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),
則,,,
所以,,
設(shè)平面的法向量,則
,令,則,,
所以,
易知平面的法向量,
由二面角是銳角,
所以,
即二面角的余弦值為;
(3)設(shè)線段上存在點,,
則,
由(2)知,平面平面的法向量,
因為與面所成角的正弦值為,
所以,
解得,
所以在線段上不存在點,使得與面所成角的正弦值為.
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【題目】如圖在直角中,為直角,,,分別為,的中點,將沿折起,使點到達點的位置,連接,,為的中點.
(Ⅰ)證明:面;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,點,點在圓上運動,的垂直平分線交于點.
(1)求證:為定值及動點的軌跡的方程;
(2)不在軸上的點為上任意一點,與關(guān)于原點對稱,直線交于另外一點.求證:直線與直線的斜率的乘積為定值,并求出該定值.
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【題目】世界讀書日又稱“世界圖書日”,設(shè)立的目的是希望世界各地的人,無論你是年老還是年輕,都能享受閱讀的樂趣,都能尊重和感謝為人類文明做出巨大貢獻的文學(xué)、文化、科學(xué)、思想大師們,都能保護知識產(chǎn)權(quán).某單位共有600人,其年齡與人數(shù)分布表如下:
年齡段 | ||||
人數(shù)(單位:人) | 150 | 210 | 180 | 60 |
約定:年齡在為青年人,在為中老年人.今年年初,該單位開展“每天閱讀1小時”活動,為了了解員工閱讀1小時是否與年齡相關(guān),一個月后按照分層抽樣抽取30人進行調(diào)查.
(1)抽出的青年人與中老年人數(shù)量分別為多少?并估算單位這600人的平均年齡;
(2)若所抽取出的青年人與中老年人中分別有6人和7人平均每天閱讀達1小時,其余人都沒達1小時.完成下列2×2列聯(lián)表,并回答能否由90%的把握認為年齡與閱讀達1小時有關(guān)?
閱讀達1小時 | 閱讀沒達1小時 | 總計 | |
青年 | 6 | ||
中年 | 7 | ||
總計 | 30 |
參考公式:
臨界值表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】已知三棱錐P-ABC(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形ABCD為邊長等于的正方形,和均為正三角形,在三棱錐P-ABC中:
(1)證明:平面平面ABC;
(2)若點M在棱PA上運動,當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時,求直線MA與平面MBC所成角的正弦值.
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【題目】“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶,“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣,為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機投擲2000個點,己知恰有800個點落在陰影部分,據(jù)此可估計陰影部分的面積是
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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【題目】定義:若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)(),則稱函數(shù)是“雙奇函數(shù)” .函數(shù).
(1)若函數(shù)是“雙奇函數(shù)”,求實數(shù)的值;
(2)假設(shè).
(i)在(1)的條件下,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(ii)若,討論函數(shù)的極值點.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為,在同一平面直角坐標(biāo)系中,將曲線上的點按坐標(biāo)變換得到曲線,以原點為極點, 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若過點(極坐標(biāo))且傾斜角為的直線與曲線交于兩點,弦的中點為,求的值.
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