【題目】如圖,四邊形為菱形,且,,點在面上的投影恰在上,點中點.

1)求證:為線段的中點;

2)求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

(1)過,連接,證明點中點.又利用,證得,結(jié)合條件,即可證明,從而得到,證明是中位線,即可證明為線段的中點;

(2)建立空間直角坐標系,寫出各點的坐標,分別求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量,再求出兩個法向量的夾角的余弦,通過觀察得二面角與兩法向量夾角相等,則可得結(jié)論..

1)證明:過,連接,

由菱形,,及,

可知,中點,

,

,,

,

,

中點,可知,為線段的中點;

2)以所在直線為軸,以所在直線為軸,

平行的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,

,,,,

,

設(shè)面的一個法向量

,,

,取

設(shè)面的一個法向量,

,

,取,

,

二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知極點與直角坐標系的原點重合,極軸與軸的正半軸重合,曲線的極坐標方程是,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)).

1)若,是圓上一動點,求點到直線的距離的最小值和最大值;

2)直線關(guān)于原點對稱,且直線截曲線的弦長等于,求的值.

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【題目】國家正積極推行垃圾分類工作,教育部辦公廳等六部門也發(fā)布了《關(guān)于在學(xué)校推進生活垃圾分類管理工作的通知》.《通知》指出,到2020年底,各學(xué)校生活垃圾分類知識普及率要達到100%某市教育主管部門據(jù)此做了哪些活動最能促進學(xué)生進行垃圾分類的問卷調(diào)查(每個受訪者只能在問卷的4個活動中選擇一個)如圖是調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計圖,以下結(jié)論正確的是(   )

A.回答該問卷的受訪者中,選擇的(2)和(3)人數(shù)總和比選擇(4)的人數(shù)多

B.回該問卷的受訪者中,選擇校園外宣傳的人數(shù)不是最少的

C.回答該問卷的受訪者中,選擇(4)的人數(shù)比選擇(2)的人數(shù)可能多30

D.回答該問卷的總?cè)藬?shù)不可能是1000

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【題目】已知函數(shù)的圖象與直線3個交點,則實數(shù)a的取值范圍是________

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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是正方形,AE平面ABCD,PDAE,PDAD2EA2,GF,H分別為BEBP,PC的中點.

1)求證:平面ABE平面GHF;

2)求直線GH與平面PBC所成的角θ的正弦值.

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【題目】如圖,四邊形是等腰梯形,且,,四邊形是矩形,,點上的一動點.

1)求證:;

2)當(dāng)時,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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【題目】某校準備采用導(dǎo)師制成立培養(yǎng)各學(xué)科全優(yōu)尖子生培優(yōu)小組,設(shè)想培優(yōu)小組中,每1名學(xué)生需要配備2名理科教師和2名文科教師做導(dǎo)師;設(shè)想培優(yōu)小組中,每1名學(xué)生需要配備3名理科教師和1名文科教師做導(dǎo)師.若學(xué),F(xiàn)有14名理科教師和9名文科教師積極支持,則兩培優(yōu)小組能夠成立的學(xué)生人數(shù)和最多是_________

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【題目】寫算,是一種格子乘法,也是筆算乘法的一種,用以區(qū)別籌算與珠算,它由明代數(shù)學(xué)家吳敬在其撰寫的《九章算法比類大全》一書中提出,是從天元式的乘法演變而來.例如計算,將被乘數(shù)89計入上行,乘數(shù)65計入右行.然后以乘數(shù)65的每位數(shù)字乘被乘數(shù)89的每位數(shù)字,將結(jié)果計入相應(yīng)的格子中,最后從右下方開始按斜行加起來,滿十向上斜行進一,如圖,即得5785.類比此法畫出的表格,若從表內(nèi)(表周邊數(shù)據(jù)不算在內(nèi))任取一數(shù),則恰取到奇數(shù)的概率是(

A.B.C.D.

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(Ⅰ)寫出頻率分布直方圖(高一)中的值;記高一、高二學(xué)生100人鍛煉時間的樣本的方差分別為,,試比較,的大。ㄖ灰髮懗鼋Y(jié)論);

(Ⅱ)估計在高一、高二學(xué)生中各隨機抽取1人,恰有一人的鍛煉時間大于20分鐘的概率;

(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認為,高二學(xué)生鍛煉時間服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差,且每名學(xué)生鍛煉時間相互獨立,設(shè)表示從高二學(xué)生中隨機抽取10人,其鍛煉時間位于的人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.

注:①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表,計算得

②若,則,

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