Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=8，an+1=(1+

1

n+1

) an+(n+2)(2n+3)，(n∈N*)，
（1）設(shè)bn=

an

n+1

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=

bn+1

bn-1

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）將已知等式的兩邊同時(shí)除以n+2，得到

an+1

n+2

-

an

n+1

=2n+3即b_n+1-b_n=2n+3，利用逐差相加法求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出cn=

bn+1

bn-1

=1+

1

n

-

1

n+2

，利用裂項(xiàng)相消的方法求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="hujyzsp" class="MathJye">a1=8，an+1=(1+

1

n+1

) an+(n+2)(2n+3)，(n∈N*)，
所以

an+1

n+2

-

an

n+1

=2n+3
所以b_n+1-b_n=2n+3
所以b₂-b₁=5
b₃-b₂=7
…
b_n-b_n-1=2n+3
相加得
b_n=（n+1）²
（2）cn=

bn+1

bn-1

=1+

1

n

-

1

n+2

所以前n項(xiàng)和S_n=n+(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)…+( 

1

n

-

1

n+2

)
=n+1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=n+

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法，應(yīng)該先求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．