已知函數(shù)f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋4lnx，其中a≥0．
（1）若a＝0，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

（1）2x－y－4＝0，（2）當(dāng)a＝0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)，單調(diào)減區(qū)間是(2，＋∞)；
當(dāng)0＜a＜時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)和(，＋∞)，減區(qū)間為(2，)；當(dāng)a＝時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)；當(dāng)a＞時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，)和(2，＋∞)，減區(qū)間為(，2)

解析試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)集合意義，在處導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處切線的斜率，因為，所以
f ′(1)＝2, 又切點(diǎn)為(1，－2)，所以所求切線方程為y＋2＝2(x－1)，（2）函數(shù)f(x)的單調(diào)性之所以要討論，就是由于導(dǎo)函數(shù)為零時根的不確定性.因為，所以當(dāng)a＝0時，方程在定義域內(nèi)只有一根；當(dāng)時，需討論兩根的大小，三種情況0＜a＜，a＝，及a＞需一一討論.解題過程中，最易忽視的是兩根相等的情況；答題時最易出錯的是將兩個單調(diào)性相同的不連續(xù)區(qū)間用“并集”“或”合并寫.
試題解析：解（1）當(dāng)a＝0時，f(x)＝－2x＋4lnx，
從而，其中x＞0．                         2分
所以f′(1)＝2．
又切點(diǎn)為(1，－2)，
所以所求切線方程為y＋2＝2(x－1)，即2x－y－4＝0．      4分
（2）因為f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋4lnx，
所以，其中x＞0．
①當(dāng)a＝0時，，x＞0．
由f′(x)＞0得，0＜x＜2，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)；單調(diào)減區(qū)間是(2，＋∞)；    6分
②當(dāng)0＜a＜時，因為＞2，由f ′(x)＞0，得x＜2或x＞．
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)和(，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為(2，)；      8分
③當(dāng)a＝時，，且僅在x＝2時，f ′(x)＝0，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)；
④當(dāng)a＞時，因0＜＜2，由f ′(x)＞0，得0＜x＜或x＞2，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，)和(2，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為(，2)．
綜上，
當(dāng)a＝0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)，單調(diào)減區(qū)間是(2，＋∞)；
當(dāng)0＜a＜時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)和(，＋∞)，減區(qū)間為(2，)；
當(dāng)a＝時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)；
當(dāng)a＞時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，)和(2，＋∞)，減區(qū)間為(，2)．   10分
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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已知函數(shù)，其中m，a均為實(shí)數(shù)．
（1）求的極值；
（2）設(shè)，若對任意的，恒成立，求的最小值；
（3）設(shè)，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得 成立，求的取值范圍．

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已知函數(shù)f(x)=x2，g(x)＝2elnx(x>0)(e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1)求F(x)=f(x)－g(x)(x>0)的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（2)是否存在一次函數(shù)y=kx+b(k，bR)，使得f(x)≥kx十b且g(x)≤kx＋b對一切x>0恒成立？若存在，求出該一次函數(shù)的表達(dá)式；若不存在，請說明理由．

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已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最小值為,求的值.

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已知函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
（1）若，求的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若對任意，且，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）在第（2）問求出的實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)，若存在一個與有關(guān)的負(fù)數(shù)，使得對任意時恒成立，求的最小值及相應(yīng)的值.

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已知函數(shù)
（1）若為的極值點(diǎn)，求的值；
（2）若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，
①求在區(qū)間上的最大值；
②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

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已知函數(shù)f(x)＝＋ln x.
(1)當(dāng)a＝時，求f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－x在[1，e]上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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若，其中．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
（2）當(dāng)時，若，恒成立，求的取值范圍．

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