設函數(shù),求證:
(1);
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點;
(3)設x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點,則
【答案】分析:(1)由已知,得出>0,b<0,2c=-3a-2b,利用不等式基本性質(zhì),即可證明.
(2)可以證出當c>0時,f(0)f(1)<0,當c≤0時,f(2)f(1)<0,根據(jù)零點存在性定理,即可證出.
(3)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點,則x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩根,利用二次方程根與系數(shù)的關系,得出,再結(jié)合(1)進行證明即可.
解答:證明:(1)∵∴3a+2b+2c=0
又3a>2c>2b∴3a>0,2b<0∴a>0,b<0…(2分)
又2c=-3a-2b  由3a>2c>2b∴3a>-3a-2b>2b
∵a>0∴…(4分)
(2)∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c…(6分)
①當c>0時,∵a>0,∴f(0)=c>0且
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點…(8分)
②當c≤0時,∵a>0∴
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個零點.
綜合①②得f(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個零點…(10分)
(3)∵x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點
則x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩根
…(12分)∴
…(15分)
點評:本題是函數(shù)與不等式、方程的結(jié)合.考查二次函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點、不等式的證明,考查計算、論證能力.
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,
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