設(shè)函數(shù)f(x)=a-
22x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù)及此時(shí)f(x)的值域.
分析:(1)∵f(x)的定義域?yàn)镽,任設(shè)x1<x2,化簡f(x1)-f(x2)到因式乘積的形式,判斷符號(hào),得出結(jié)論.
(2)由f(-x)=-f(x),解出a的值,進(jìn)而得到函數(shù)的解析式:f(x)=1-
2
2x+1

由 2x+1>1,可得函數(shù)的值域.
解答:解:(1)∵f(x)的定義域?yàn)镽,設(shè) x1<x2,
f(x1)-f(x2)=a-
2
2x1+1
-a+
2
2x2+1
=
2•(2x1-2x2)
(1+2x1)(1+2x2)

∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,(1+2x1)(1+2x2)>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),所以不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總為增函數(shù).
(2)∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),
a-
2
2-x+1
=-a+
2
2x+1

解得:a=1.∴f(x)=1-
2
2x+1

∵2x+1>1,∴0<
2
2x+1
<2

-2<-
2
2x+1
<0
,∴-1<f(x)<1
所以f(x)的值域?yàn)椋?1,1).
點(diǎn)評:本題考查證明函數(shù)的單調(diào)性的方法、步驟,利用奇函數(shù)的定義求待定系數(shù)的值,及求函數(shù)的值域.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a?b,其中向量
a
=(m,cos2x),
b
=(1+sin2x,1),x∈R,且y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
4
,2)

(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)求f(x)的最小正周期.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a-
22x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)若不等式f(x)+a>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
(a-2)x,(x≥2)
(
1
2
)
x
 
-1,(x<2)
,an=f(n)
,若數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(
2
,-2)
b
=(sin(
π
4
+2x),cos2x)
(x∈R).設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b

(1)求f(-
π
4
)
的值;     
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]
上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
=(5
3
cosx,cosx)
,
b
=(sinx,2cosx)
,其中x∈[
π
6
,
π
2
]
,設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b
+|
b
|2+
3
2

(1)求函數(shù)f(x)的值域;        
(2)若f(x)=5,求x的值.

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