Question

已知函數(shù)（、為常數(shù)），在時(shí)取得極值．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）數(shù)列滿(mǎn)足（且），，數(shù)列的前項(xiàng)和為，

求證：（,是自然對(duì)數(shù)的底）．

 

Answer 1

（1）且；（2）；（3）詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得極值，故在有定義，得，可對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，，則是的根，這樣可得的關(guān)系是，再由的范圍可求得的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，當(dāng)時(shí)，由得，代入得 ，對(duì)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，即可得函數(shù)的最小值；（3）求證：，即證，因此需求出數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和為，由數(shù)列滿(mǎn)足（且），，得，即，可求得，它的前項(xiàng)和為不好求，由此可利用式子中出現(xiàn)代換，由（2）知，令得，，取，疊加可證得結(jié)論．

試題解析：（1） ∵在有定義 ∴

∴是方程的根，且不是重根

∴ 且 又 ∵ ∴且 4分

（2）時(shí) 即方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根

即方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根

令

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 8分

（3） ∴ ∴ ∴

∴ 10分

由（2）知

代 得 即

∴

累加得

即 ∴ 得證 14分

考點(diǎn)：函數(shù)的極值，函數(shù)的最值，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，函數(shù)的單調(diào)性．