Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的增函數(shù)，是否存在這樣的實數(shù)a，使得不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）對于任意x∈[0，1]都成立？若存在，試求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：解法一：由條件得1-ax-x²＜2-a對于x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x²+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分類討論，求最值即可求出實數(shù)a的取值范圍；
解法二：由1-ax-x²＜2-a，得（1-x）a＜x²+1，對x討論，再分離參數(shù)，求最值，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解法一：由條件得1-ax-x²＜2-a對于x∈[0，1]恒成立
令g（x）=x²+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．
g（x）=x²+ax-a+1=（x+

a

2

）²-

a2

4

-a+1．
①當-

a

2

＜0，即a＞0時，g（x）_min=g（0）=1-a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；
②當0≤-

a

2

≤1，即-2≤a≤0時，g（x）_min=g（-

a

2

）=-

a2

4

-a+1＞0，∴-2-2

2

＜a＜-2+2

2

，故-2≤a≤0；
③當-

a

2

＞1，即a＜-2時，g（x）_min=g（1）=2＞0，滿足，故a＜-2．
故存在實數(shù)a，使得不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）對于任意x∈[0，1]都成立，其取值范圍是（-∞，1）．
解法二：由1-ax-x²＜2-a得（1-x）a＜x²+1，
∵x∈[0，1]，∴1-x≥0，
∴①當x=1時，0＜2恒成立，此時a∈R；
②當x∈[0，1）時，a＜

x2+1

1-x

恒成立．
求當x∈[0，1）時，函數(shù)y=

x2+1

1-x

的最小值．
令t=1-x（t∈（0，1]），則y=

x2+1

1-x

=

(1-t)2+1

t

=t+

2

t

-2，
而函數(shù)y=t+

2

t

-2是（0，1]上的減函數(shù)，所以當且僅當t=1，即x=0時，y_min=1．
故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，
由①②得a＜1．
故存在實數(shù)a，使得不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）對于任意x∈[0，1]都成立，其取值范圍是（-∞，1）．

點評：本題考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，考查分離參數(shù)法的運用，屬于中檔題．