已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0,求:
(1)當(dāng)a∈{-2,-1,0,1,2},b∈{0,1,2,3}時(shí),方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的概率;
(2)當(dāng)a∈[0,2],b∈[0,3]時(shí),方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的概率.
分析:首先分析一元二次方程有實(shí)根的條件,得到a2≥b2
(1)本題是一個(gè)古典概型,試驗(yàn)發(fā)生包含的基本事件可以通過(guò)列舉得到結(jié)果數(shù),滿足條件的事件在前面列舉的基礎(chǔ)上得到結(jié)果數(shù),求得概率.
(2)本題是一個(gè)幾何概型,試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3},滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a≥b},根據(jù)概率等于面積之比,得到概率.
解答:解:方程有實(shí)根時(shí),△=(2a)2-4b2≥0,即a2≥b2.記方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的事件為A.
(1)當(dāng)a∈{-2,-1,0,1,2},b∈{0,1,2,3}時(shí),a與b的所有組合為(第一個(gè)數(shù)為a的值,第二個(gè)數(shù)為b的值):
(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),共20組,即基本事件有20個(gè),由于a在{-2,-1,0,1,2}里取是隨機(jī)的,b在{0,1,2,3}里取是隨機(jī)的,所以上述20個(gè)事件是等可能性的.
又因?yàn)闈M足條件a2≥b2的有:(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,0),(-1,1),(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)共11個(gè),即事件A包含了11個(gè)基本事件,
所以P(A)=
11
20
,
所以,方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的概率為
11
20

(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,b),由于a∈[0,2],b∈[0,3],所以,所有的點(diǎn)M對(duì)構(gòu)成坐標(biāo)平面上一個(gè)區(qū)域(如圖6中的矩形OABC),即所有的基本事件構(gòu)成坐標(biāo)平面上的區(qū)域OABC,其面積為2×3=6.
由于a在[0,2]上隨機(jī)抽取,b在[0,3]上隨機(jī)抽取,
所以,組成區(qū)域ABCD的所有基本事件是等可能性的.
又由于滿足條件0≤a≤2,且0≤b≤3,且a2≥b2,即a≥b的平面區(qū)域如圖6中陰影部分所示,其面積為
1
2
×2×2=2,
所以,事件A組成平面區(qū)域的面積為4,所以P(A)=
2
6
=
1
3

所以,方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的概率為
1
3
點(diǎn)評(píng):本題考查古典概型及其概率公式,考查幾何概型及其概率公式,本題把兩種概率放在一個(gè)題目中進(jìn)行對(duì)比,得到兩種概率的共同之處和不同點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1.
(1)設(shè)集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率;
(2)設(shè)點(diǎn)(a,b)是區(qū)域
x+y-8≤0
x>0
y>0
內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn),求y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)在一個(gè)紅綠燈路口,紅燈、黃燈和綠燈的時(shí)間分別為30秒、5秒和40秒.當(dāng)你到達(dá)路口時(shí),求不是紅燈的概率.
(2)已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1.設(shè)集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1.
(Ⅰ)設(shè)集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[|m+n|2上是增函數(shù)的概率;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)(
1
2
|m+n|min=
2
2
)是區(qū)域
x+y-8≤0
x>0
y>0
內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn),求MD上是增函數(shù)的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為(-2,3),則關(guān)于x的不等式cx+b
x
+a<0的解集為
[0,
1
9
[0,
1
9

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•藍(lán)山縣模擬)已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0在實(shí)數(shù)集上恒成立,且a<b,則T=
a+b+cb-a
的最小值為
3
3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案