Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比q=3，前3項和S₃=

13

3

．若函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=

π

6

處取得最大值，且最大值為a₃．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）若f（

α

2

）=1，α∈（

π

2

，π），求sin（a+

π

2

）的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,等比數(shù)列的通項公式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）根據等比數(shù)列，結合三角函數(shù)的最值性質求出A 和φ的值，即可求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）若f（

α

2

）=1，α∈（

π

2

，π），根據兩角和差的正弦公式即可求sin（a+

π

2

）的值．

解答： 解：（1）由S3=

a1(1-q3)

1-q

=

a1(1-27)

1-3

=

13

3

得a1=

1

3

，
∴a3=a1q2=3
由已知有A=3，2×

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，
∴φ=2kπ+

π

6

，k∈Z．
∴φ=

π

6

∴f(x)=3sin(2x+

π

6

)

（2）f(

α

2

)=3sin(α+

π

6

)=1，
∴sin(α+

π

6

)=

1

3

．
∵α∈(

π

2

，π)
∴α+

π

6

∈(

2π

3

，

7π

6

)
∴cos(α+

π

6

)=-

2 2

3

＜0
∴sin(α+

π

2

)=cosα=cos[(α+

π

6

)-

π

6

]=cos(α+

π

6

)cos

π

6

+sin(α+

π

6

)sin

π

6

=

1-2 6

6

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質以及兩角和差的正弦公式的應用，考查學生的計算能力．