Question

【題目】已知三棱錐A﹣BCD中，AB=CD，且直線AB與CD成60°角，點M、N分別是BC、AD的中點，求直線AB和MN所成的角．

Answer 1

【答案】解：如圖，取AC的中點P，連結PM、PN，
則PM∥AB，且PM=AB，PN∥CD，且PN=CD，
∴∠MPN為AB與CD所成的角（或所成的角的補角），
∴∠MPN=60°或∠MPN=120°，
若∠MPN=60°，∵PM∥AB，∴∠PMN是AB與MN所成的角（或所成角的補角），
又∵AB=CD，∴PM=PN《
∴△PMN是等邊三角形，∴∠PMN=60°，
∴AB與MN所成的角為60°；
若∠MPN=120°，則△PMN是等腰三角形，∴∠PMN=30°，
∴AB與MN所成的角為30°，
∴直線AB與MN所成的角為60°或30°．

【解析】取AC的中點P，連結PM、PN，則∠MPN為AB與CD所成的角（或所成的角的補角），∠PMN是AB與MN所成的角（或所成角的補角），由此能求出直線AB與MN所成的角．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系．