已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)求過(guò)點(diǎn)O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程;
(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),并且線段AB的中點(diǎn)在直線x+y=0上,求直線AB的方程.

【答案】分析:(I)由題意可知圓過(guò)點(diǎn)O(0,0)、F(-1,0),圓心M在直線上.由此可求出圓的方程.
(II)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),代入,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.
解答:解:(I)∵a2=2,b2=1,
∴c=1,F(xiàn)(-1,0),l:x=-2.
∵圓過(guò)點(diǎn)O、F,
∴圓心M在直線上.
設(shè),則圓半徑
由|OM|=r,得,
解得
∴所求圓的方程為
(II)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),
代入,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
∵直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,
∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根,
記A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)N(x,y),
,
∵線段AB的中點(diǎn)N在直線x+y=0上,

∴k=0,或
當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí),線段AB的中點(diǎn)F不在直線x+y=0上.
∴直線AB的方程是y=0,或x-2y+1=0.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí),考查平面解析幾何的基本方法,考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用.
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       (I)求過(guò)點(diǎn)O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程;

       (II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。

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