Question

已知函數(為常數,是自然對數的底數),曲線在點處的切線與軸平行．

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的單調區(qū)間;

(Ⅲ)設,其中為的導函數．證明:對任意．

 

Answer 1

(Ⅰ)1

(Ⅱ)在區(qū)間內為增函數;在內為減函數．

(Ⅲ)見解析．

【解析】(Ⅰ)由f(x)=可得,而,即,解得k=1．

(Ⅱ),令可得x=1,

當時,;當時,．于是在區(qū)間內為增函數;在內為減函數．(Ⅲ),(1)當時, ,．(2)當時,要證．只需證即可設函數

則,則當時．

令解得,當時;當時,則當時,且,則,于是可知當時成立綜合(1)(2)可知對任意x＞0,恒成立．另證1:設函數,則,則當時,于是當時,要證,只需證即可,設,,令解得,當時;當時,則當時,于是可知當時成立綜合(1)(2)可知對任意x＞0,恒成立．另證2:根據重要不等式當時,即,于是不等式,設,,令解得,當時;當時,則當時,于是可知當時，成立．