Question

已知f（x）=xe^x，g（x）=ax²+2ax，a∈R
（1）若f（x）與g（x）在（0，0）處的切線互相垂直，求a的值；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），當(dāng)1≤a≤

2

時(shí)，求y=F（|x|）在[-a，a]的最大值．

Answer 1

分析：（1）求f（x）、g（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）、g′（x），由f（x）與g（x）在（0，0）處的切線互相垂直，得f′（0）•g′（0）=-1，求得a的值．
（2）求F（|x|）在[-a，a]的最大值，只需求F（x）在[0，a]上的最大值即可，求F（x）的導(dǎo)函數(shù)F'（x），利用導(dǎo)函數(shù)判定F（x）的增減性與最值，從而求出F（x）=的最大值F（x）_max．

解答：解：（1）∵f（x）=xe^x，g（x）=ax²+2ax，a∈R；
∴f′（x）=e^x+xe^x，g′（x）=2ax+2a；
又∵f（x）與g（x）在（0，0）處的切線互相垂直，
∴f′（0）•g′（0）=-1，即（e⁰+0×e⁰）•（2a×0+2a）=-1；
∴2a=-1，即a=-

1

2

；
∴a的值是-

1

2

．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=xe^x-（ax²+2ax），∴F'（x）=（x+1）e^x-（2ax+2a）=（x+1）（e^x-2a）；
令 h(x)=ex-2x(1≤x≤

2

)，h'（x）=e^x-2＞0，∴h（x）_min=h（1）=e-2＞0，h（x）＞0恒成立，
∴e^x＞2x，∴e^a＞2a，∴F（x）在（0，ln2a）上單調(diào)遞減，在（ln2a，a）上單調(diào)遞增；
又F（0）=0，F(xiàn)（a）=ae^a-（a³+2a²）=a（e^a-a²-2a），
令m(x)=ex-x2-2x(1≤x≤

2

)，m'（x）=e^x-2x-2，m''（x）=e^x-2＞0，
所以m′（x）在（1，

2

）上單調(diào)遞增，
∴m′（x）≤m′（

2

）=e

2

-2

2

-2＜0，
所以m（x）單調(diào)遞減，m（x）≤m（1）=e-4＜0，
所以F（x）_max=F（0）=0；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程以及函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，是較難的題目．