已知雙曲線x2=1.
 
(1)若一橢圓與該雙曲線共焦點,且有一交點P(2,3),求橢圓方程.
(2)設(1)中橢圓的左、右頂點分別為A、B,右焦點為F,直線l為橢圓的右準線,Nl上的一動點,且在x軸上方,直線AN與橢圓交于點M.若AMMN,求∠AMB的余弦值;
(3)設過A、F、N三點的圓與y軸交于PQ兩點,當線段PQ的中點為(0,9)時,求這個圓的方程.
(1)=1(2)-(3)x2y2+2x-18y-8=0
(1)∵雙曲線焦點為(±2,0),設橢圓方程為=1(ab>0).
a2=16,b2=12.故橢圓方程為=1.
(2)由已知,A(-4,0),B(4,0),F(2,0),直線l的方程為x=8.
N(8,t)(t>0).∵AMMN,∴M.
由點M在橢圓上,得t=6.
故所求的點M的坐標為M(2,3).
所以=(-6,-3),=(2,-3),·=-12+9=-3.
cos∠AMB=-.
(3)設圓的方程為x2y2DxEyF=0,將AF、N三點坐標代入,得

圓的方程為x2y2+2xy-8=0,令x=0,得y2y-8=0.
P(0,y1),Q(0,y2),則y1,2.
由線段PQ的中點為(0,9),得y1y2=18,t=18,
此時,所求圓的方程為x2y2+2x-18y-8=0
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