已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點(diǎn)P(1,)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)如圖,動直線:與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且,,四邊形面積S的求最大值.
(I);(II).
解析試題分析:(I)設(shè)出橢圓的方程,根據(jù)已知條件列方程組,求出和的值,然后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(II)根據(jù)動直線與橢圓的交點(diǎn)個數(shù),聯(lián)立方程組求的關(guān)系式,再由點(diǎn)到直線的距離公式求得和的代數(shù)式,因?yàn)樗倪呅问侵苯翘菪,根?jù)邊的關(guān)系求得高的代數(shù)式,由梯形的面積公式表示出面積,利用等量代換,化簡的解析式,由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求最值.
試題解析:(I)設(shè)橢圓的方程為,
由已知可得 , 3分
解得,,
∴橢圓的方程為. 5分
(II)由,得 6分
由直線與橢圓僅有一個公共點(diǎn)知,,
化簡得. 7分
由點(diǎn)到直線的距離公式,可設(shè)
, 8分
∵,
,
∴.
∴四邊形面積. 10分
令,,,
當(dāng)時,,∴在上為減函數(shù),
∴,∴當(dāng)時,
所以四邊形的面積的最大值為. 12分
考點(diǎn):1、橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程;2、點(diǎn)到直線的距離公式;3、梯形的面積公式;4、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;5、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率,連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B。已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為。若,求直線的傾斜角。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,,以為圓心的圓與相切于點(diǎn),的縱坐標(biāo)為,是圓與軸除外的另一個交點(diǎn).
(I)求拋物線與圓的方程;
( II)已知直線,與交于兩點(diǎn),與交于點(diǎn),且, 求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,過的直線交拋物線于兩點(diǎn),直線分別與直線:相交于兩點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值.
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已知橢圓的離心率為,直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,、、是橢圓的頂點(diǎn),是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn),直線交軸于點(diǎn),直線交于點(diǎn),設(shè)的斜率為,的斜率為,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓過點(diǎn),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)且斜率為()的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),直線、分別交直線 于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.記直線的斜率為,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:,
(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在(1)的條件下,設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且為銳角(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率的取值范圍;
(3)過原點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線與橢圓:相交于四點(diǎn),設(shè)原點(diǎn)到四邊形的一邊距離為,試求時滿足的條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是橢圓的右焦點(diǎn),圓與軸交于兩點(diǎn),是橢圓與圓的一個交點(diǎn),且
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)過點(diǎn)與圓相切的直線與的另一交點(diǎn)為,且的面積為,求橢圓的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),右準(zhǔn)線為,離心率為.若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,以線段為直徑作圓.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓與軸相切,求圓被直線截得的線段長.
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