Question

【題目】已知函數(shù),，其中且，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）是否存在，對(duì)任意的，任意的，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，，，無極小值;

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是，，無極大值.

（2）存在滿足題意.

【解析】

(1)求出導(dǎo)數(shù)，分和討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.

(2)由題意可得，利用導(dǎo)數(shù)求出和，解關(guān)于的不等式即可.

（1）（且）.

當(dāng)時(shí)，由可得且；由可得,

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，，

，無極小值.

當(dāng)時(shí)，由可得；由可得且,

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是，

，無極大值.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，，，無極小值;

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是，，無極大值.

（2）由題意，只需.

由（1）知當(dāng)，時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故.

，.

當(dāng)，時(shí)，

由可得；由可得.

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

.

故，不等式兩邊同乘以，得，

故.

，.

存在滿足題意.