Question

已知動點M到點的距離比它到y(tǒng)軸的距離多．
（I）求動點M的軌跡方程；
（II）設動點M的軌跡為C，過點F的直線l與曲線C交于A、B兩點，若y軸正半軸上存在點P使得△PAB是以P為直角頂點的等腰直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題知，點M到點F的距離與它到直線x=-的距離相等，根據(jù)拋物線的定義能求出點M的軌跡方程．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點D（x，y），直線l：，聯(lián)立，得，由此入手，能求出直線l的方程．
解答：解：（I）由題知，點M到點F的距離與它到直線x=-的距離相等，
根據(jù)拋物線的定義，知點M的軌跡方程為y²=2px．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點D（x，y），直線l：，
聯(lián)立，得，
則，，
∴，
=-p²，
∴，由題知，
令x=0得，，
又PA⊥PB，
∴，
化簡，得y_p²-（y₁+y₂）y_p+y₁y₂+x₁x₂=0，
即3k⁶+3k⁴-4k²-4=0，
（3k⁴-4）（k²+1）=0，
解得（舍負），
∴直線l的方程：．
點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系，拋物線的簡單性質(zhì)等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．