Question

設(shè)正數(shù)P₁，P₂，…P2n滿足P₁+P₂+P₃+…+P2n=1，求證：p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+P₃log₂P₃+…+p_2ⁿlog₂p_2ⁿ≥-n．

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlog₂x-x+1，可得g′（x）=log₂x+

1

ln2

-1，則當(dāng)x≥1時，log₂x≥0，

1

ln2

-1＞0，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得xlog₂x≥x-1．令x=2ⁿP_i，則有2ⁿP_ilog₂（2ⁿP_i）≥2ⁿP_i-1，兩邊同除以2ⁿ，可得，P_ilog₂（2ⁿP_i）≥P_i-

1

2n

，利用“累加求和”化簡整理即可得出．

解答： 證明：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlog₂x-x+1，
∴g′（x）=log₂x+

1

ln2

-1，則當(dāng)x≥1時，log₂x≥0，

1

ln2

-1＞0，
∴當(dāng)x≥1時，g′（x）＞0，即g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）≥g（1）=0，即xlog₂x-x+1≥0，
∴xlog₂x≥x-1．
令x=2ⁿP_i，則有2ⁿP_ilog₂（2ⁿP_i）≥2ⁿP_i-1，兩邊同除以2ⁿ，可得，P_ilog₂（2ⁿP_i）≥P_i-

1

2n

，
利用“累加求和”可得：p1log2(2np1)+p₂log₂（2ⁿP₂）+P₃log₂（2ⁿP₃）+…+P_2ⁿlog₂（2ⁿP_2ⁿ）≥p₁+p₂+…+P_2ⁿ-1，
化簡可得，（P₁+P₂+…+P_2ⁿ）log2(2n)+P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥（P₁+P₂+…+P_2ⁿ）-1•
∵P₁+P₂+…P_2ⁿ=1，
∴l(xiāng)og2（^₂n）+P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥0，
∴n+P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥0，
∴P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥-n．

點評：本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法，考查了“累加求和”方法與對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．