Question

在等差數(shù)列{a_n}中，首項a₁=1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=（

1

2

） an，且b₁b₂b₃=

1

64

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，結(jié)合已知b_n=（

1

2

） an及b₁b₂b₃=

1

64

列式求得d，則等差數(shù)列的通項公式可求；
（2）設(shè)a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=S_n，然后利用錯位相減法求和．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵b_n=（

1

2

） an，且b₁b₂b₃=

1

64

，
∴(

1

2

)1•(

1

2

)1+d•(

1

2

)1+2d=(

1

2

)3+3d=

1

64

，則d=1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）設(shè)a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=S_n，
則S_n=1×(

1

2

)1+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n(

1

2

)n，

1

2

Sn=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n+n(

1

2

)n+1．
兩式作差得：

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n(

1

2

)n+1
=1-

1

2n

-n(

1

2

)n+1．
∴Sn=2-

1

2n-1

-

n

2n

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．