Question

已知函數(shù)的反函數(shù)為，設(shè)的圖象上在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為，數(shù)列{}滿足： 
（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在數(shù)列中，僅最小，求的取值范圍；
（Ⅲ）令函數(shù)數(shù)列滿足,求證：對一切n≥2的正整數(shù)都有 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范圍為；（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）將函數(shù)的反函數(shù)求出來，可得，
再由得 
是以2為首項(xiàng)，l為公差的等差數(shù)列，由此可得數(shù)列{}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）求出函數(shù)的反函數(shù)在點(diǎn)處的切線的截距即得
將，的通項(xiàng)公式代入得：
這是一個二次函數(shù)，但n只取正整數(shù)，畫出圖象可以看出當(dāng)對稱軸介于與之間的時候，就僅有最小，，解這個不等式即可得的取值范圍
（Ⅲ）由題設(shè)可得：結(jié)合待證不等式可看出，可將這個等式兩邊取倒數(shù)，這樣可得： ，從而

 
又遞推公式可知，各項(xiàng)為正，所以

試題解析：（Ⅰ）
∴函數(shù)的反函數(shù) 
則得 
是以2為首項(xiàng)，l為公差的等差數(shù)列，故            （3分）
（Ⅱ） 在點(diǎn)處的切線方程為
令， 得
           （6分）
依題意，僅當(dāng)時取得最小值，
，解之
∴的取值范圍為                  （8分）
（Ⅲ）故 
又故，

 
又
故                             （14分）