【題目】設函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點,求a的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)分別在和兩種情況下根據(jù)導函數(shù)的正負得到單調性,根據(jù)極值的定義可求得對應的極值;
(2)當時,分別在上存在唯一零點和為零點兩種情況下,結合零點存在定理得到的范圍;當時,結合函數(shù)的單調性,可知,通過討論的位置確定對應端點值的符號,從而得到不等式組,解不等式組求得結果;綜合兩種情況可得最終結果.
(1)由題意得:.
①當時,恒成立,在上單調遞增,此時無極值;
②當時,令,解得:,
當時,;當時,,
在上單調遞減,在上單調遞增,
在處取得極小值,極小值為,無極大值.
綜上所述:當時,的單調遞增區(qū)間為,無單調遞減區(qū)間,無極值;
當時,的單調遞減區(qū)間為,單調遞增區(qū)間為,極小值為,無極大值.
(2)①當時,由(1)知,在上單調遞增,
若在上存在唯一零點,則,即,
解得:.
若是在上的唯一零點,則,解得:(舍).
②當時,由(1)知,在上單調遞減,在上單調遞增,
.
,
若在上存在唯一零點,則或或,
解得:.
綜上所述:的取值范圍為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. (-∞,0) B. C. (0,1) D. (0,+∞)
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【題目】我省某校要進行一次月考,一般考生必須考5門學科,其中語、數(shù)、英、綜合這四科是必考科目,另外一門在物理、化學、政治、歷史、生物、地理、英語2中選擇.為節(jié)省時間,決定每天上午考兩門,下午考一門學科,三天半考完.
(1)若語、數(shù)、英、綜合四門學科安排在上午第一場考試,則“考試日程安排表”有多少種不同的安排方法;
(2)如果各科考試順序不受限制;求數(shù)學、化學在同一天考的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且當時,().
(1)當時,求的表達式:
(2)求在區(qū)間的最大值的表達式;
(3)當時,若關于x的方程(a,)恰有10個不同實數(shù)解,求a的取值范圍.
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【題目】交大設計學院植物園準備用一塊邊長為4百米的等邊ΔABC田地(如圖)建立芳香植物生長區(qū)、植物精油提煉處與植物精油體驗點.田地內擬建筆直小路MN、AP,其中M、N分別為AC、BC的中點,點P在CN上.規(guī)劃在小路MN和AP的交點O(O與M、N不重合)處設立植物精油體驗點,圖中陰影部分為植物精油提煉處,空白部分為芳香植物生長區(qū),A、N為出入口(小路寬度不計).為節(jié)約資金,小路MO段與OP段建便道,供芳香植物培育之用,費用忽略不計,為車輛安全出入,小路AO段的建造費用為每百米4萬元,小路ON段的建造費用為每百米3萬元.
(1)若擬建的小路AO段長為百米,求小路ON段的建造費用;
(2)設∠BAP=,求的值,使得小路AO段與ON段的建造總費用最小,并求岀最小建造總費用(精確到元).
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