Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點(diǎn)B．

（1）求△AF1F2的周長(zhǎng)；

（2）在x軸上任取一點(diǎn)P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，求的最小值；

（3）設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義可得，從而可求出的周長(zhǎng)；

（2）設(shè)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限，，求出，根據(jù)準(zhǔn)線方程得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向量坐標(biāo)公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可出最小值；

（3）設(shè)出設(shè)，點(diǎn)到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離與，可推出，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，以及滿足橢圓方程，解方程組即可求得坐標(biāo).

（1）∵橢圓的方程為

∴,

由橢圓定義可得：.

∴的周長(zhǎng)為

（2）設(shè)，根據(jù)題意可得.

∵點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限，

∴

∵準(zhǔn)線方程為

∴

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

∴的最小值為.

（3）設(shè)，點(diǎn)到直線的距離為.

∵，

∴直線的方程為

∵點(diǎn)到直線的距離為，

∴

∴

∴①

∵②

∴聯(lián)立①②解得，.

∴或.