Question

【題目】已知函數(shù)， （為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，試求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到， ，根據(jù)這兩點可以寫出切線方程。（2）對函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性的研究，分， ， ,三種情況討論單調(diào)性，研究函數(shù)的圖像變換趨勢，得到參數(shù)方位。（3）原不等式等價于恒成立，對右側(cè)函數(shù)研究單調(diào)性得最值即可。

解析：

（Ⅰ）當(dāng)時， .， .

所以函數(shù)在點處的切線方程為.

（Ⅱ）函數(shù)的定義域為，由已知得.

①當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點；

②當(dāng)，因為，

當(dāng)時， ；當(dāng)時， .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 又， ，

因為，所以， 所以，所以

取，顯然且

所以， .

由零點存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)有兩個零點.

③當(dāng)時，由，得，或.

當(dāng)，則.當(dāng)變化時， ， 變化情況如下表：

注意到，所以函數(shù)至多有一個零點，不符合題意.

當(dāng)，則， 在單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個零點，不符合題意.

若，則.當(dāng)變化時， ， 變化情況如下表：

注意到當(dāng)， 時， ， ，所以函數(shù)至多有一個零點，不符合題意.

綜上， 的取值范圍是.

（Ⅲ）當(dāng)時， ，

即,令，則

令，則

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增

又， ，所以，當(dāng)時， ，即，

所以單調(diào)遞減；當(dāng)時， ，即，

所以單調(diào)遞增，所以，所以．