Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E為PD的中點(diǎn)．求證：
（1）AE∥平面PBC；
（2）PD⊥平面ACE．

Answer 1

分析：（1）要證明線(xiàn)面平行，需要構(gòu)造線(xiàn)面平行的判定定理的條件--在面PBC內(nèi)找到與AE平行的直線(xiàn)，取PC的中點(diǎn)F利用題目中的平行關(guān)系，可證得AE∥BF，即得AE∥BF．
（2）由PB⊥AC，BD⊥AC可得AC⊥平面PBD，利用線(xiàn)面垂直的定義得AC⊥PD，然后由AP=AD，E為PD的中點(diǎn)得到PD⊥AE，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得PD⊥平面ACE．

解答：證明：（1）取PC中點(diǎn)F，連接EF，BF，
∵E為PD中點(diǎn)，
∴EF∥DC且EF=

1

2

DC．
∵AB∥DC且AB=

1

2

DC，
∴EF∥AB且EF=AB．
∴四邊形ABFE為平行四邊形．
∴AE∥BF．
∵AE?平面PBC，BF?平面PBC，
∴AE∥平面PBC．
（2）∵PB⊥AC，BD⊥AC，PB∩BD=B，
∴AC⊥平面PBD．
∵PD?平面PBD，
∴AC⊥PD．
∵AP=AD，E為PD的中點(diǎn)，
∴PD⊥AE．
∵AE∩AC=A，
∴PD⊥平面ACE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線(xiàn)面平行和線(xiàn)面垂直的判斷，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，是個(gè)中檔題．