若不存在整數(shù)x使不等式(kx-k2-4)(x-4)<0成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.

1≤k≤4
分析:設(shè)原不等式的解集為A,然后分k大于0且不等于2,k等于2,小于0和等于0四種情況考慮,當(dāng)k等于0時(shí),代入不等式得到關(guān)于x的一元一次不等式,求出不等式的解集即為原不等式的解集;當(dāng)k大于0且k不等于2時(shí),不等式兩邊除以k把不等式變形后,根據(jù)基本不等式判斷 與4的大小即可得到原不等式的解集;當(dāng)k等于2時(shí),代入不等式,根據(jù)完全平方式大于0,得到x不等于4,進(jìn)而得到原不等式的解集;當(dāng)k小于0時(shí),不等式兩邊都除以k把不等式變形后,根據(jù) 小于4,得到原不等式的解集,綜上,得到原不等式的解集;
解答:設(shè)原不等式的解集為A,
當(dāng)k=0時(shí),則x>4,不合題意,
當(dāng)k>0且k≠2時(shí),原不等式化為[x-( )](x-4)>0,
,
,要使不存在整數(shù)x使不等式(kx-k2-4)(x-4)<0成立,
,解得:1≤k≤4;
當(dāng)k=2時(shí),A=(0,4),不合題意,
當(dāng)k<0時(shí),原不等式化為[x-( )](x-4)>0,
∴A=(-∞,)∪(4,+∞),不合題意,
故答案為:1≤k≤4.
點(diǎn)評:此題考查了一元二次不等式的解法,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)考查了運(yùn)算能力,是一道中檔題.
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設(shè)不等式組
x>0
y>0
y≤-nx+3n
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,記Dn內(nèi)的格點(diǎn)(格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個數(shù)為f(n),(n∈N*
(1)求f(1),f(2)的值及f(n)的表達(dá)式;
(2)記Tn=
f(n)•f(n+1)
2n
,試比較Tn與Tn+1的大小;若對于一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和,其中bn=2f(n),問是否存在正整數(shù)n,t,使
Sn+tbn
Sn+1-tbn+1
1
16
成立?若存在,求出正整數(shù)n,t;若不存在,說明理由.

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